یک مدل چند دوره ای مکانیابی و تخصیص برای زنجیره تامین خون در شرایط اضطراری

مقدمه:

حوادث غیر متعارف نفوذ زیادی در زندگی انسان دارد که  یکی از مخرب­ترین آنها زلزله است. خون به عنوان یک مسئله حیاتی بسیار مهم شناخته می­شود که در زمان وقوع زلزله تقاضای آن به شدت افزایش پیدا می­کند. تامین خون کافی بخصوص در شرایط اضطراری یک چالش بزرگ است. در این مقاله، به بررسی برنامه­ریزی ریاضی خون در شرایط اضطراری پرداخته می­شود. مدل ریاضی، یک مدل چند دوره­ای مکان­یابی و تخصیص است که با الگوریتم ابتکاری لاگرانژین حل شده است. در نهایت نیز یک مطالعه موردی در پکن آمده است.

در پروسه کمک رسانی بر اثر زلزله ونچوان در چین، مدیریت عرضه خون با چندین مشکل روبرو شد. (1) قوانین چین از یک مدیریت واحد در زمینه خون تبعیت می­کنند، جمع­آوری خون بصورت واحد و عرضه خون بصورت واحد. در این صورت برنامه­ریزی خون به صورت فرا منطقه­ای حتی در شرایط استثنائی وجود ندارد بطوریکه اگر توسط مقامات بهداشتی تایید نشود نیازهای افراد زخمی به موقع تامین نمی­شود. (2) منبع خون در زمان­بندی فرا منطقه­ای مختلف است در نتیجه اطمینان از کیفیت خون سخت می­باشد. (3) پس از وقوع زلزله ، افراد زیادی خون اهدا می­کنند. در صورتی که بدون برنامه­ریزی از افراد خون دریافت شود، تنها باعث افزایش کار مسئولین می­شود و خون باقی مانده هدر می­رود.

به منظور افزایش میزان خون در یک سیستم، نیازمند به توسعه علمی در جمع­آوری، نگهداری، برنامه­ریزی و توزیع خون می­باشیم . پروسه تهیه خون در شرایط اضطراری به صورت زیر است:

در دوره­های متفاوت مقدار تقاضا برای دریافت خون نیز متفاوت است. تسهیلات سیار می­توانند به مکان­های مختلف برای دریافت خون از اهدا کنندگان بروند در نتیجه مدل بررسی شده چند دوره­ای است تا نیازمندی را در دوره­های متفاوت بررسی کند.

مسئله مورد نظر یک مسئله دینامیکی چند دوره­ای مکانیابی و توزیع است که هدف آن کمینه کردن هزینه­های عملیاتی کل است.

مروری بر ادبیات:

یانگمینگ و همکاران (1999), آنلی و همکاران (2000) به عرضه خون در بحران پرداختند و سیستم مدیریتی خون را در آمریکا،کانادا و کشورهای دیگر بر اساس زلزله سال 2008 بررسی کردند.یان (2006)و بین (2008)نیز علاوه بر عرضه خون مسئله کمبود و هدررفت را در نظر گرفته­اند. داگو (2008) به مدیریت موجودی در زمانبندی خون پرداخته است

کوری و همکاران (1969)، وسولسکی و تراسکوت (1975)به بررسی مکان­یابی و توزیع مسئله چند سطحی و متد بندرز برای حل مسئله مکانیابی استفاده­کردند. ماریناو و سرا (2002)نیز مسئله مکانیابی و تخصیص را با در نظر گرفتن محدودیت صف و یا انتظار در نظر گرفتند. برتکورن، لاپورت و سمت (2003)نیز مقاله­ای در زمینه مسئله مکانیابی و توزیع آمبولانس­ها نوشتند. اسکات یک مسئله چند سطحی مکان­یابی-تخصیص را با الگوریتم مایوپیک(myopic) حل کرد. الگوریتم های میوپیک در واقع نوعی الگوریتم های "محلی" هستند که "واکنشی" عمل می کنند و قابلیت "پیش­بینی" شرایط آتی مساله رو ندارند. تاپیرو (2008)نیز مسئله دینامیکی مکانیابی و تخصیص را با محدودیت هزینه در جابجایی و ظرفیت سرویس­دهی ایستگاه­ها در نظر گرفت.

مدل ریاضی:

در این بخش، یک مسئله مکان­یابی-توزیع چند دوره­ای دینامیکی تعریف شده است. هدف مدل کمینه کردن هزینه­های عملیاتی است. در مدل T، به معنای دوره­های زمانی است که با شاخص  نمایش داده شده­است.هر دوره t تنها شامل زمان جمع آوری خون و زمان تغییر مرکز خون موقت بین دو دوره است. زمان شروع بین دو دوره، زمانی است که مرکز خون موقت کاملا جابجا شده باشد. کارها ساعاتی در روز هستند و جابجایی­ها در بعد از ظهر انجام می­شود.

شاخص­ها بصورت زیر معرفی شده­اند:

دوره زمانی 0 به عنوان اولین دوره در نظر گرفته­شده است.

پارامترها عبارتند از:

متغیرهای تصمیم شامل:

تابع هدف بصورت زیر می باشد:

تابع هدف (1) به کمینه کردن هزینه جابجایی، هزینه انتقال و هزینه موجودی(جریمه) می­پردازد. اگر قسمت سوم تابع هدف  مثبت باشد به این معنی است که هزینه برای عرضه ناکافی بوجود آمده است(هزینه کمبود) و اگر منفی باشد هزینه اتلاف تلقی می­شود.

محدودیت دوم این اطمینان را می­دهد که تمامی نقاط حداکثر یک بار دیده شده­اند. محدودیت سوم این اطمینان را می­دهد که از یک نقطه در صورتی خروجی داریم اگر و فقط اگر مرکز خونی در آن نقطه وجود داشته باشد.در واقع یک تسهیل موقت زمانی می­تواند جابجا شود اگر و فقط اگر در دوره قبل در آن مکان بوده باشد. محدودیت چهارم این اطمینان را می­دهد که در هر دوره تعداد P مرکز در حال فعالیت هستند. محدودیت پنجم به این اشاره دارد که مجموعه اهداکنندگان تنها به مراکز موقت تخصیص پیدا می­کنند. محدودیت ششم به محدودیت ظرفیت مجموعه گروه اهداکنندگان اشاره دارد. محدودیت هفتم و هشتم به محدودیت ظرفیت هر مرکز خون اشاره دارد. محدودیت نهم به شعاع پوششی(در صورتی اهداکننده iمی تواند به تسهیل jو یا nتخصیص پیدا کند که فاصله اش آن تسهیل کمتر از شعاع پوششی آن تسهیل باشد و محدودیت دهم تا دوازدهم به تعریف متغیرها می­پردازند.

تبدیل مدل به صورت خطی:

همانطور که مشاهده می­شود مدل بصورت غیر خطی است پس برای تبدیل آن به خطی به صورت زیر عمل می­کنیم:

پس تابع هدف به صورت زیر تغییر پیدا می کند:

و همچنین محدودیت­های (7) و (8) به صورت زیر تغییر پیدا می­کنند:

برای ساده سازی مدل، متغیر جدید  تعریف شده­است:

برای نرمالیزه کردن  بصورت زیر عمل شده­است:

مشخص است که در صورتی که در نقطه j مرکز خونی وجود نداشته باشد،  برابر با صفر است پس:

در نتیجه مدل اصلی به صورت زیر تبدیل می­شود:

محدودیت­های (2)، (3)،(4)،(11) بدون تغییر و محدویت­های (1)،(7)،(8) با ورود  و  بصورت محدودیت­های (16)، (22)، (23) نوشته شده­­اند.

محدودیت پنجم این اطمینان را می­دهد که مجموعه اهداکنندگان تنها به مراکز موقت خون تخصیص داده­ ­می­شوند.

اهداکنندگان به مرکز خون تخصیص داده نمی­شوند اگر:

اهداکنندگان به مرکز خون تخصیص داده می­شوند اگر:

در نتیجه محدودیت (5) با (20) برابری دارد.

محدودیت (6) به ظرفیت مجموعه گروه اهداکنندگان اشاره دارد. با در نظر گرفتن  و  محدودیت (6) با (21) برابری دارد.

محدودیت (9) و (24) نیز برابریشان بصورت زیر اثبات می­شود:

اصلاح سازی به وسیله لاگرانژ:

برای انجام عملیات لاگرانژ به اصلاح سازی محدودیت (32) می­پردازیم:

را غیر منفی در نظر می­گیریم، در نتیجه مسئله آزاد شده شده با L(u) بصورت زیر نمایش داده شده­است:

با در نظر گرفتن محدودیت­های (28) تا (38).

یک متغیر ثابت است که می­تواند به دو تابع متفاوت تبدیل شود. بطوری که اولی تنها به متغیر y و دومی تنها به متغیر z مربوط باشد. در این صورت محدودیت­های (29) تا (31) و (37) تنها به y و محدودیت­های (33) تا (36) و (28) و (38) تنها به z مربوط می­شود. بنابراین L(u) به دو زیر مسئله تبدیل می­شود:

مسئله اول:

مسئله دوم:

مسئله اول با در نظر گرفتن مسئله ارسال و دوم با در نظر گرفتن مسئله توزیع حل می­شود.

برای حل این مسئله از روش لاگرانژی با در نظر گرفتن کران بالا استفاده می­کنیم.

کران بالا:

فرض کنید برای u داده شده مسئله لاگرانژ به صورت L(u) است پس برای آنکه حل­شدنی باشد، راه حل بهینه y برابراست با   اگر:

به تمامی نقاط ممکن که دارای مرکز خون در دوره t هستند، اشاره می­کند.

در هر دوره ، اگر    در نتیجه مشتری i به نقطه  با در نظر گرفتن کمینه هزینه، تخصیص دوباره می­شود. در نتیجه کران بالای مدل بدست می­آید.

برای حل مدل در مسئله­های چند دوره­ای از الگوریتم­های ابتکاری استفاده می­شود.

مطالعه موردی:

مطالعه انجام شده به بررسی زنجیره تامین خون در چین و در زمان زلزله پرداخته شده­است. فرض شده­است که هزینه­ها در دوره­های مختلف تغییر نمی­کنند و تنها به خون­های جمع­آوری شده مربوط است. تعداد ده مکان شدنی و بیست گروه اهداکننده وجود دارد.

شکل(1)، مکان­های شدنی و گروه­های اهداکننده

تعداد اهدا کنندگان خون در هر منطقه براساس حجم جمعیت در آن منطقه محاسبه شده­است، همچنین فرض شده که هر فرد می­تواند ml 200 خون اهدا کند .

الگوریتم در VISUAL c++ به اجرا در­آمده است. مدل به تولید 1000 نمونه از تقاضاهای مختلف پرداخته است. تقاضا از توزیع نرمال با میانگین 280 و واریانس 100 تبعیت می­کند. شکل(2) به بررسی نتیجه بهینه الگوریتم پرداخته است و خط قرمز میانگین را نمایش می­دهد.

شکل(2)، هزینه کل بدست آمده از جواب­های بهینه از 1000 گروه متقاضی

جدول (1) ، تعداد مکان­های کاندید شده در هر دوره برای تولید1000 نمونه

جدول (1) تعداد مکان­های کاندید شده در هر دوره که برای تولید 1000 نمونه است را نمایش می­دهد.مکان­های کاندید شده 1 و 5 بیشترین فاصله را با مرکز خون داشتند و تقریبا انتخاب نشده­اند. این مسئله برای رسیدن مسیرها به مکان­های (2)،(3) و تا آخر تاثیر می­گذارد. این کمک می­کند تا مدیران شعاع دریافت خون و رسیدن به مراکز خون را بدست آورده تا متقضی در زمان مطلوب نیاز خود را دریافت نماید.