بررسی مقالات مرتبط با زنجیره تأمین خون - بررسی مقاله ششم

عنوان:

شبکه زنجیره تأمین خون برای رقابت در میان سازمان‌های خدمات خونی: رویکرد تعادل نش تعمیم‌یافته.

چکیده:

در این مقاله، یک مدل تعادل نش برای رقابت در شبکه زنجیره تأمین خون ارائه شده‌است که درآن، سازمان‌های خدمات خونی برای جذب اهداکنندگان و انعقاد قرارداد با بیمارستان‌ها و مراکز خدماتی برای تأمین خون مورد نیاز آن‌ها، رقابت می‌کنند. هم‌چنین، در این مقاله با استفاده از مفهوم تعادل تغییراتی، نامساوی تغییراتی معادل با مسئله مذکور ارائه شده‌است و سپس، با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ، تحلیل‌های اقتصادی برای تصمیم‌گیرندگان و بازیکنان فراهم شده‌است. در نهایت، الگوریتمی برای حل این مدل ارائه شده‌است و مثال‌های عددی متنوعی حل شده و نتایج آن‌ها تحلیل شده‌است.  

مقدمه:

مدیریت کارا و مؤثر زنجیره تأمین خون، امری ضروری و چالش‌برانگیز در سازمان‌های خدمات خونی است. ویژگی‌های ذاتی این ماده نجات‌بخش مانند طول عمر محدود این محصول و علم به این موضوع که تنها راه تأمین این ماده، اهدای خون است، مشکلات و خطراتی را برای سهام‌داران بخش حوزه سلامت ایجاد می‌کنند. کمبود در عرضه خون، منجر به خسارات اجتماعی مانند مرگ می‌شود و جمع‌آوری خون اضافی، از طریق اتلاف خون خساراتی را به دنبال دارد.

صنعت بانک خون در آمریکا در مرحله‌ای حساس قرار دارد و در تلاش است که خود را با تحولات بازار وفق دهد و به ثبات اقتصادی برسد. تقاضای خون در آمریکا، به دلیل پیشرفت فناوری‌های پزشکی و رواج جراحی‌های کم‌تهاجمی، با کاهشی 33 درصدی مواجه شده‌است که این عامل، باعث افزایش رقابت در بین سازمان‌های خدمات خونی شده‌است و افزایش هزینه‌های آزمایش و فرآوری خون‌های جمع‌آوری‌شده نیز مشکلاتی را برای این سازمان‌ها به همراه دارد.

عرضه خون در آمریکا، از طریق اهدای خون داوطلبانه تأمین می‌شود و پرداخت پول به اهداکنندگان در قبال خون اهدایی غیرمجاز است. از یک طرف، دعوت مردم به نوع‌دوستی و ترغیب آن‌ها به اهدای خون، امری دشوار است و از طرف دیگر، ممکن است افرادی که متقاعد به اهدای خون شده‌اند، واجد شرایط اهدای خون نباشند. سازمان غذا و دارو در آمریکا، قوانین سخت‌گیرانه‌ای برای غربالگری اهداکنندگان خون در نظر گرفته‌است. علاوه بر شرایط سنی، وزن، سطح هموگلوبین و رعایت حداقل فاصله مجاز بین اهداهای متوالی، مراجعین برای تشخیص سلامتی آنان از بیماری‌های پرخطر مورد معاینه قرار می‌گیرند و در صورت مشاهده علایم بیماری، ممکن است فرآیند اهدای خون، به تعویق بیفتد و یا از انجام آن جلوگیری شود. در آمریکا، حدود 38 درصد از مردم واجد شرایط اهدای خون هستند که در واقعیت، کمتر از 10 درصد مردم برای اهدای خون اقدام می‌کنند. فصل‌های سال نیز، در میزان اهدای خون نقش دارند؛ به‌عنوان مثال، اهداکنندگان ممکن است درگیر تعطیلات و یا مشکلات آب‌وهوایی باشند. از این رو، بانک‌های خونی مجبور به اعتماد به کمک‌های داوطلبانه اهداکنندگان هستند و حتی با توجه به کاهش تقاضای خون نیز، هم‌چنان با چالش‌های بزرگی در تأمین خون مواجه هستند.

متخصصان در این حوزه معتقدند که زنجیره تأمین خون به تدریج شبیه به زنجیره‌های تأمین تجاری معمول می‌شوند و در نتیجه، هر چند که اعضای فعال در این صنعت در اولویت اول، به دنبال کسب سود نیستند، اما رقابت در بین اعضای این زنجیره در حال افزایش است. رقابت در بین این اعضا، برای جذب اهداکنندگان و انعقاد قرارداد با بیمارستان‌ها و سایر مراکز درمانی برای تأمین خون موردنیاز است. بیمارستان‌ها و مراکز درمانی گزینه‌های متعددی برای انتخاب تأمین‌کننده خون موردنیاز خود در پیش رو دارند. به دلیل کاهش خطر کمبود خون که منتج از کاهش احتمالی عرضه خون است، بیمارستان‌ها و مراکز درمانی ممکن است با سازمان‌های مختلفی قرارداد داشته‌باشند که این قراردادها در قیمت، کیفیت، انواع محصولات و طول قرارداد ممکن است متفاوت باشند.

پویایی در صنعت خون، بانک‌های خونی را مجبور می‌کند که در حرفه خود خلاقیت و نوآوری داشته‌باشند. بانک‌های خونی باید قیمت محصولات خود را با توجه به شرایط رقابتی تعیین کنند به گونه‌ای تنظیم کنند که هزینه‌ها را پوشش داده و درآمدی برای فعالیت‌هایی مانند تحقیق و پژوهش باقی بماند. بنابراین، نیاز به تغییر رویکرد در مدیریت زنجیره‌های تأمین خون وجود دارد که نه تنها ویژگی‌های معمول و شناخته‌شده خون از قبیل فسادپذیری، اتلاف، کمبود را مد نظر قرار دهد، بلکه محدودیت‌های موجود در عرضه خون و رقابت در میان بانک‌ها خونی را نیز در نظر داشته‌باشد.

در این مقاله، یک برای شبکه زنجیره تأمین رقابتی برای بانک‌های خونی ارائه شده‌است که در آن، هر سازمان خدمات خونی به دنبال بیشینه ساختن تابع مطلوبیت خود است و این تابع مطلوبیت متشکل است از: درآمدها، هزینه‌ها و مؤلفه‌ای که نمایانگر میزان نوع‌دوستی سازمان‌هاست (با توجه به این که این سازمان‌ها غیرانتفاعی هستند). این سازمان‌ها در طی یک بازی غیرهمکارانه (بازی غیرهمکارانه که در آن امکان تبادل اطلاعات، مذاکره و چانه زدن بین بازیکنان وجود ندارد) بر سر اهدای خون و فعالیت‌های اقتصادی که در ارتباط با زنجیره تأمین خون است، رقابت می‌کنند و این سازمان‌ها به دنبال آن هستند که برای تأمین خون مورد نیاز بیمارستان‌ها و سایر مراکز درمانی انتخاب شوند. این سازمان‌ها وابسته به تعداد اهداکنندگان خون در هر منطقه، با محدودیت عرضه مواجه می‌شوند. به‌علاوه، مراکز درمانی به دنبال آن هستند که میزان مناسبی از موجودی خون را برای پاسخگویی به تقاضاهای خود در اختیار داشته‌باشند و از طرف دیگر نیز قصد ندارند که با نگه‌داری موجودی بیش از حد، باعث اتلاف خون شده و هزینه‌های اضافی متحمل شوند. بنابراین، حد بالا و پایین برای میزان تقاضای خون در بیمارستان‌ها و مراکز خونی تعیین شده‌است. با توجه به شرایط مسئله و محدودیت‌های حاکم بر عرضه و تقاضا، یک مدل تعادل نش تعمیم‌یافته برای مدیریت زنجیره تأمین خون ارائه شده‌است. هم‌چنین، مدلی معادل با توجه به مفهوم نامساوی‌های تغییراتی توسعه داده شده‌است و در نهایت برای تحلیل‌های اقتصادی از قضیه لاگرانژ استفاده شده‌است و کارایی مدل نیز، با طرح چندین مثال عددی، ارزیابی شده‌است.

ویژگی‌های اصلی مدل:

·         در این مسئله، چندین سازمان خدمات خونی در نظر گرفته شده‌است که در حال رقابت با یکدیگر هستند و تابع هزینه هر لینک، مستقل در نظر گرفته نشده‌است. به‌عبارت دیگر، تابع هزینه هر لینک وابسته به جریان در آن لینک و هم‌چنین جریان در سایر لینک‌هاست.

·         با توجه به محدودیت‌های موجود در اهدای خون، محدودیت‌هایی بر روی میزان عرضه خون اعمال شده‌است و با توجه به محدودیت‌های موجود در نقاط تقاضا، حدود بالا و پایینی برای میزان تقضا در نظر گرفته شده‌است. در هیچ مدلی تاکنون، چنین ویژگی‌هایی در شبکه زنجیره تأمین رقابتی خون در نظر گرفته نشده‌است.

·         تابع مطلوبیت برای هر سازمان در نظر گرفته شده‌است که شامل درآمد و بخشی است که نشان‌دهنده میزان نوع‌دوستی سازمان است و برای هر سازمان نیز یک ضریب وزنی در نظر گرفته شده‌است.

·         جریان خون از هر سازمان‌ خونی تا نقاط تقاضا، با توجه به محدودیت‌ها و درنظرگرفتن رقابت بین سازمان‌ها و فسادپذیری خون، تعیین شده‌است. به‌علاوه، هزینه‌های مربوط به تأمین خون برای هر سازمان متفاوت است و از این رو، بیمارستان‌ها با توجه به قیمت‌ها می‌توانند سازمان‌های مختلفی را برای تأمین خون موردنیاز خود انتخاب کنند.  

·         نامساوی‌های تغییراتی معادل با تعادل نش تعمیم‌یافته ارائه شده‌است و با استفاده از قضیه لاگرانژ، تحلیل‌های اقتصادی برای محدودیت‌های ظرفیت و محدودیت‌های تقاضا فراهم شده‌است.

·         یک روش محاسباتی کارامد پیشنهاد شده‌است و از آن برای حل مثال‌های عددی مختلفی استفاده شده‌است.

بیان مسئله:

سازمان خدمات خونی، خون را به صورت دوره‌ای و با ترغیب مردم به اهدا در مراکز ثابت و یا سیار جمع‌آوری می‌کنند. سپس، خون‌های جمع‌آوری‌شده برای آزمایش و فرآوری به آزمایشگاه‌ها منتقل می‌شوند و به انواع فرآورده‌ها شامل گلبول‌های قرمز،پلاسما و پلاکت تبدیل می‌شوند و این فرآورده‌ها دارای طول عمرهای مختلف هستند و هر کدام شرایط نگه‌داری خاص خود را دارند و از این رو، استراتژ‌ی‌های زنجیره تأمین برای اجزای مختلف باید متفاوت باشند. در این مدل، تمرکز بر روی گلبول‌های قرمز خون است که پرمصرف‌ترین جزء خون است و در مواردی مانند جراحی‌ها، درمان سرطان و سایر بیماری‌ها کاربرد دارد.

همان‌طور که در شکل 1 نشان داده شده‌است، به تعداد I سازمان خدمات خونی با یکدیگر رقابت می‌کنند. هر سازمان i قادر به جمع‌آوری خون  در nⁱ_c محل جمع‌آوری است. فرض شده‌است که J منطقه وجود دارد که بانک‌های خونی در این مناطق می‌توانند به جمع‌آوری خون بپردازند و یا مراکز سیار خود را در آن مناطق مستقر کنند. هر یک از nⁱ_c محل جمع‌آوری خون، به بکی از این مناطق تعلق دارند. خون‌های جمع‌آوری‌شده در سازمان i به مرکز خونی nⁱ_B منتقل می‌شوند. سپس خون از این مرکز به آزمایشگاه nⁱ_CL برای آزمایش و فرآوری فرستاده می‌شود و در گام بعدی، برای نگه‌داری به تسهیل nⁱ_S منتقل می‌شود. آزمایشگاه‌ها ممکن است به صورت جداگانه در محل دیگری نباشد و در فعالیت‌های مربوط به آن در مراکز خونی انجام شود. آخرین جزء این زنجیره، همان‌طور که در شکل 1 نشان داده شده‌است، مراکز توزیع هستند. نقاط تقاضا که شامل بیمارستان‌ها، مراکز درمانی و ... هستند و با علامت H₁،...، H_nH نشان داده شده‌اند، ممکن است از چندین بانک خونی خدمات دریافت کنند.

شکل1. ساختار شبکه زنجیره تأمین ارائه‌شده 

هر لینک بین دو نقطه از زنجیره تأمین نمایانگر یک فعالیت است. لینک بین سازمان خدمات خونی و محل‌های جمع‌آوری خون، عملیات جمع‌آوری را نشان می‌دهد و لینک بعدی به آزمایشگاه‌ها، عملیات آزمایش و فرآوری خون را نشان می‌دهد. لینک‌های بعدی نیز به ترتیب عملیات ذخیره‌سازی، انتقال و توزیع به نقاط تقاضا را نمایش می‌دهند. هم‌چنین، چندین لینک مستقیم از تسهیلات ذخیره‌سازی به نقاط تقاضا وجود دارد؛ زیرا که در بعضی مواقع، بانک‌های خونی در تعامل نزدیک با بیمارستان‌ها هستند و سطح موجودی آن‌ها را پایش می‌کنند و میزان خون موردنیاز آن‌ها را مستقیماً به آن بیمارستان‌ها منتقل می‌کنند که باعث صرفه‌جویی در هزینه‌ها می‌شود.

این مدل هم رقابت‌های داخل منطقه‌ای و هم رقابت‌های بین مناطق را شامل می‌شود. به علاوه، سازمان‌های بزرگ مانند سازمان هلال احمر آمریکا و مرکز خون نیویورک که شامل چندین آزمایشگاه، مرکز ذخیره‌سازی و مرکز توزیع هستند، در حالی که سازمان‌های کوچک ممکن است یک مورد از هر یک از این مراکز را داشته‌باشد. در این مدل، افق زمانی به گونه‌ای در نظر گرفته شده‌است که همه فعالیت‌ها در بازه یک هفته انجام می‌شوند.

این زنجیره تأمین با G=[N,L] نشان داده می‌شود که N و L به ترتیب نقاط و لینک‌ها را نشان می‌دهند. هم‌چنین، Lⁱ مجموعه لینک‌های مستقیمی است که مربوط به مجموعه فعالیت‌های متوالی در شبکه زنجیره تأمین خون در سازمان i هستند. ĉ_a هزینه عملیاتی کل مربوط به هر لینک a را نشان می‌دهد که شامل عملیات جمع‌آوری، آزمایش و فرآوری، ذخیره‌سازی و توزیع است. یک مسیر p که متشکل از چندین لینک متوالی است، از یکی از نقاط مبدأ در شکل 1 (1,…,I) شروع شده و به یکی از نقاط مقصد (H₁,…,H_nH) ختم می‌شود.

به منظور در نظر گرفتن ویژگی فسادپذیری خون، از یک رویکرد تعمیم‌یافته با یال و ضریب مسیر (path multiplier) استفاده شده‌است که در جدول 1 تعریف شده‌اند. به علاوه، چون در این مقاله گلبول‌های قرمز مورد بررسی قرار گرفته‌است، بنابراین مسیرهایی که طی کردن آن‌ها زمانی بیش از 42 روز را اختیار می‌کنند، از شبکه حذف شده‌اند.

جدول 1. نمادهای به‌کارگرفته‌شده برای تعریف ویژگی فسادپذیری خون

X_p جریان خون در مسیر p را نشان می‌دهد و d_ik تقاضای هفتگی خون از سازمان خدمات خونی i توسط نقطه تقاضای k است و p_i^k نیز، نشان‌دهنده مجموعه تمامی مسیرهایی است که سازمان i را به مقصد H_k وصل می‌کند.

معادله تعادل جریان در هر سازمان i و در هر نقطه تقاضا k به صورت زیر است:

که بیان می‌کند که هر تقاضایی که توسط هر نقطه تقاضا از هر سازمان خدمات خونی می‌شود، باید برآورده شود.

هم‌چنین، جریان در هر مسیر باید غیرمنفی باشد.

جریان خون در یال a با نماد f_a تعریف شده‌است و معادله تعادل جریان در هر یال به صورت زیر است:

همان‌طور که قبلاً ذکر شد، خون فقط از طریق اهدا فراهم می‌شود. بنابراین میزان عرضه توسط تعداد جمعیت واجد شرایط برای اهدای خون محدود می‌شود که به صورت زیر تعیین می‌شود: 

به‌علاوه، هر یال ارتباطی بین دو نقطه نیز دارای ظرفیت است که توسط محدودیت (5) بیان شده‌است:

در نقاط تقاضا نیز محدودیت‌هایی وجود دارند. در واقع در این نقاط که شامل بیمارستان‌ها و مراکز درمانی هستند، یک حد پایین برای میزان خون‌های دریافتی از سازمان‌های خدمات خونی وجود دارد تا از کمبود جلوگیری شود و هم‌چنین، یک حد بالا، با توجه به ظرفیت نگه‌داری موجودی در این مراکز تعیین می‌شود تا از اتلاف خون تا حدامکان جلوگیری شود که این محدودیت‌ها به صورت زیر بیان می‌شوند:

در حالت کلی، هزینه کل در لینک a تابعی از تمام لینک‌های موجود در شبکه است که با توجه به این موضوع، می‌توان رقابت در میان تمامی سازمان‌های خدمات خونی درگیر در این زنجیره تأمین خون را در مدلسازی لحاظ کرد. بنابراین، خواهیم داشت:

قیمتی که نقطه تقاضا k خواستار پرداخت آن به ازای دریافت یک واحد گلبول‌های قرمز از سازمان‌های خدمات خونی i است، با ρ_ik نشان‌داده شده‌است که با توجه به شرایط رقابتی حاکم بین سازمان‌ها، وابسته به میزان تقاضاها و عواملی مانند مدت زمان قرارداد بین بیمارستان و سازمان و سوابق و عملکردهای سازمان‌ها در تأمین سفارشات قبلی است. این رابطه، در محدودیت (9) بیان شده‌است.

با توجه به این که اکثر بانک‌های خونی در آمریکا، سازمان‌های غیرانتفاعی هستند، تابع مطلوبیتی متناسب با خدمات ارائه‌شده توسط آن‌ها در نظر گرفته می‌شود. فرض می‌کنیم که γ_ik سطح رضایت کسب‌شده در سازمان i از تأمین خون موردنیاز نقطه تقاضای k باشد. در این صورت، مطلوبیت کل حاصل برای سازمان i برابر مجموع مطلوبیت‌های کسب‌شده از تأمین خون نقاط تقاضاهای مختلف خواهد بود و طبق رابطه زیر محاسبه خواهد شد:

این تابع مطلوبیت، هم‌چنین بازتابی از میزان نوع‌دوستی هر سازمان است. به‌علاوه، یک ضریب وزنی  ω_i برای هر سازمان لحاظ شده‌است که این مطلوبیت را به معادل نقدی آن تبدیل می‌کند و مفهومی معادل درآمد برای سازمان محسوب می‌شود. در نهایت، با ترکیب درآمدها و هزینه‌ها و تابع وزنی که نمایانگر میزان نوع‌دوستی است، تابع مطلوبیت برای هر سازمان، به صورت زیر تشکیل می‌شود:

در این مدل، سازمان‌ها به دنبال حداکثر کردن سطح مطلوبیت خود با توجه به محدودیت‌های (1)-(7) هستند و هم‌چنین در حال رقابت برای میزان خون جمع‌آوری‌شده و نیز میزان خون تأمین‌شده برای نقاط تقاضای مختلف هستند. بنابراین، هر سازمان با توجه به استراتژی خود، دارای بردارهای جریان‌ مختص به خود، X_i، است ‌که در رابطه زیر نشان داده شده‌است:

که در آن، Pⁱ همه مسیرهای شروع‌شده‌ از سازمان i و n_Pi تعداد مسیرها از سازمان i به نقاط تقاضاست و X نیز، مجموعه همه بردارهای جریان تمامی بانک‌های خونی موجود در شبکه است.

با توجه به محدودیت (3) و با استفاده از متغیرهای استراتژیک، محدودیت (4) را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

از این رو که اولین فعالیت در شبکه مذکور، جمع‌آوری خون است و هیچ لینکی قبل از این فعالیت موجود نیست، بنابراین با توجه به تعریف ضریب یال - مسیر  خواهیم داشت: α_ap= δ_ap

هم‌چنین، محدودیت مربوط به ظرفیت بانک‌های خونی می‌تواند به فرم زیر بازنویسی شود:

و مجموعه موجه برای بانک خونی i به صورت زیر تعریف می‌شود:

و یک مجموعه موجه دیگر که شامل محدودیت‌های مشترک است، S، تعریف می‌کنیم:

هم‌چنین، با توجه به محدودیت (1)، تابع قیمت به صورت زیر بازتعریف می‌شود:

با توجه به محدودیت‌های تعادل جریان (محدودیت‌های (1)-(3)) و با توجه به تابع قیمت تقاضاها و تابع نمایانگر نوع‌دوستی، می‌توان تابع مطلوبیت هر سازمان را فقط با توجه به جریان مسیرها تعریف کرد که خواهیم داشت: Û_i (X) ≡ U_i و سپس این توابع مطلوبیت را با یک بردار i بُعدی، Û، نمایش می‌دهیم.

در این مدل، سازمان‌های خدمات خونی، در یک بازی غیرهمکارانه و در یک بازار انحصار چندتایی با یکدیگر رقابت می‌کنند و این سازمان‌ها، جریان‌ها و مسیرهایی را انتخاب می‌کنند که مطلوبیت آن‌ها را حداکثر کنند تا این که یک تعادل طبق تعریف زیر ایجاد شود.

تعریف 1: تعادل نش تعمیم‌یافته در شبکه زنجیره تأمین خون.

بردار جریان X^* تشکیل یک تعادل نش تعمیم‌یافته در شبکه زنجیره تأمین خون می‌دهد؛ اگر برای هر سازمان داشته‌باشیم:

که در آن داریم:

با توجه به رابطه (18)، تعادل زمانی برقرار می‌شود که هیچ سازمانی نتواند با تغییر بردار جریان خون، بهبودی در سطح مطلوبیت خود ایجاد کند. البته باید به بردار جریان سایر سازمان‌ها نیز توجه داشت و محدودیت‌های ذکرشده نیز برقرار باشند.  

سپس، تعریف زیر را داریم:

تعریف 2: تعادل تغییراتی.

مفهوم تعادل نش تعمیم‌یافته در مسئله مذکور برقرار خواهد بود؛ اگر بردار X^* در نامساوی تغییراتی زیر صدق کند:

که اثبات می‌شود X^* در این نامساوی صدق کرده و تعادل نش تعمیم‌یافته بر این بازی حاکم است.

هم‌چنین اثبات می‌شود که نامساوی تغییراتی (20) با نامساوی تغییراتی (25) معادل بوده و دارای فرم استاندارد است.

در ادامه، با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ، نامساوی تغییراتی معادلی برای نامعادله (25) محاسبه شده‌است و در نهایت، تحلیل‌های اقتصادی برای ضرایب لاگرانژ و برای موارد مختلف ارائه شده‌است. 

نتایج:

در این مقاله، مثال‌های عددی متنوعی برگرفته از ایالت‌های نیو انگلند آمریکا ارائه شده‌است که در این منطقه، رقابت‌ روزافزونی در میان سازمان‌های خدمات خونی وجود دارد. این مثال‌ها، ویژگی‌های مدل‌های مبتنی بر تئوری بازی‌ها را دارا می‌باشند و نتایج حاصل از آن‌ها، حاوی رهنمودهایی برای مدیران و تصمیم‌گیرندگان و بازیکنان در این حوزه هستند.

محاسبات لازم در این مقاله نیز، با استفاده از نرم‌افزار فورترن و با سیستم عامل لینوکس در دانشگاه ماساچوست در امهرست انجام شده‌است. برای حل مثال‌ها از روش اویلر استفاده شده‌است و مقادیر اولیه برای شروع این الگوریتم، صفر قرار داده شده‌است. پارامترهایی نظیر تعداد افراد واجد شرایط برای اهدا در هر منطقه، حد بالا و پایین تقاضا در هر منطقه و ضریب وزنی هر سازمان تعیین شده‌اند و نتایج حاصل از حل مثال‌ها، از قبیل درآمدها، هزینه‌ها و بخشی از تابع که سطح نوع‌دوستی سازمان‌ها را بازتاب می‌کند، محاسبه شده‌اند و از برآیند آن‌ها، درآمد خالص محاسبه شده‌است. به‌علاوه، اطلاعات مربوط به برخی یال‌های معین، شامل ظرفیت یال، ضریب یال، تابع هزینه کل، جریان هر یال و ضرایب لاگرانژ متناظر با آن یال گزارش شده‌اند.

در مثال 1، مشاهده می‌شود که برخی لینک‌ها در حد بالای ظرفیت خود هستند و بنابراین در این مثال، توصیه به سرمایه‌گذاری در افزایش ظرفیت این لینک‌ها شده‌است. در مثال 2، تأثیر حذف حدود بالا و پایین در میزان تقاضاها بررسی شده‌است که نتایج این مثال بیان می‌کند که در این حالت، با وجود این که درآمدهای خالص و مطلوبیت سازمان‌ها افزایش می‌یابد، ولی برخی از سازمان‌ها با مشکلات جدی در تأمین تقاضاهای خود مواجه می‌شوند. بنابراین، در این مثال اهمیت استفاده از حدود بالا و پایین تقاضا در بیمارستان‌ها نشان داد‌ه شده‌است و پیشنهاد شده‌است که این حدود، در قرارداد‌های بین بیمارستا‌ن‌ها و سازمان‌ها قید شوند. در مثال 3، تأثیر اختلال در اهدای خون نظیر شیوع یک بیماری در جامعه و متعاقباً کاهش تعداد واجدین شرایط برای اهدای خون که منجر به کاهش اهدای خون می‌شود، بررسی شده‌است. نتایج این مثال گویای آن است که در صورت وقوع این شرایط، سازمان‌ها به شدت با کاهش مطلوبیت و درآمد خالص مواجه می‌شوند و متحمل خسارت‌های اقتصادی می‌شوند. بنابراین، این مثال بیانگر آن است که سازمان‌ها برای داشتن عملکرد مناسب، نیازمند دسترسی به تعداد کافی از اهداکنندگان برای تأمین به‌موقع این ماده حیاتی دارند و اهمیت این موضوع، به‌خصوص در مواقعی مانند شیوع یک بیماری در جامعه و یا در بازه‌های زمانی خاصی که دسترسی به اهداکنندگان به دلیل عواملی مانند تعطیلات و سردی هوا محدود می‌شود، بیشتر نمایان می‌گردد. در مثال 4 نیز، تأثیر کاهش ظرفیت مربوط به یک سازمان خاص به دلیل وقوع سوانح، بررسی می‌شود. نتایج نشان می‌دهند که درآمد خالص این سازمان کاهش می‌یابد. هم‌چنین، این عامل بر سازمان‌های دیگر نیز تأثیر می‌گذارد و با وجود این که باعث افزایش درآمد این سازمان‌ها می‌شود، ولی هزینه‌ای نیز بر این سازمان‌ها تحمیل می‌کند که در نهایت باعث کاهش درآمد خالص این سازمان‌ها شده‌است. در این شرایط، پیشنهاد می‌شود که سازمان‌ها به جای رقابت، با یکدیگر همکاری کنند.