یک مدل استوار دوهدفه برای تخصیص منابع اضطراری تحت عدم قطعیت

چکیده

تخصیص منابع امدادی یکی از مهمترین عملیات های پاسخگویی در حوزه مدیریت بحران می‌باشد. این مقاله مسئله تخصیص منابع اضطراری را که شامل چندین نواحی بحران زده و یک منبع مرکزی امدادی، تحت کمبود در عرضه و عدم قطعیت، است در فاز پس از بحران بیان می‌کند. در شرایط انسانی، رعایت عدالت و کارآمدی در سیاستهای تخصیص تاثیر قابل توجهی بر کارایی عملیات پاسخ گویی اضطراری دارد. بنابراین، در این مقاله یک مدل رباست دوهدفه تخصیص منابع امدادی ارائه شده است که سعی در افزایش کارایی همزمان با رعایت عدالت در شرایط عدم قطعیت دارد. برای در نظر گرفتن شرایط متمایل با نظر تصمیم‌گیرنده مراحلی انجام شده که در ادامه توضیح داده شده است.

 

  

مقدمه

بحرانها در همه جای دنیا به وفور اتفاق میافتد، و باعث به وجود آمدن خرابی‌های بسیار و همینطور مرگ بسیاری از انسان‌ها و مشکلات در پی آن می‌شود. بحران‌ها شامل بلایای طبیعی (مثل: زلزله، سیل، طوفان) و هم انسانی (حمله‌های تروریستی، نشتی‌های شیمیایی، حوادث هسته‌ای) هستند. در این شرایط، مدیریت بحران بسیار حیاتی می‌شود و تصمیم‌های مدیران بحران مهمترین نقش را در انتخاب و اجرای عملیات پاسخگویی کارا ایفا می‌کند. در شرایط اضطراری، نیاز به منابع امدادی (مثل: منابع دارویی، غذا، آب، پناهگاه،...) بیش از هر زمان دیگری است، اما مقدار موجود بسیار محدود می‌باشد؛ بنابراین، تخصیص موثر و کارا این منابع حساس‌ترین بخش عملیات نجات در شرایط بحرانی در نظر گرفته می‌شود.

مسائل تخصیص منابع در شرایط اضطراری یک موضوع جدید تحقیقاتی می‌باشد. در کنار کارایی، رعایت عدالت یکی از اساسی‌ترین فاکتورها در مسائل تخصیص منابع در شرایط اضطراری در نظر گرفته می‌شود. کاملا واضح است که بی عدالتی در شرایط اضطراری ممکن است باعث اختلاف و آشوب اجتماعی در میان بازماندگان شود. برای مثال، گزارش شده است که در روزهای نخستین پس از زلزله Haiti در ۱۲ ژانویه ۲۰۱۰ میلادی، منابع امدادی توسط برخی بازماندگان Port-au-Prince، به دلیل سیاست نادرست تخصیص، به سرقت رفت. همین اتفاق در زلزله فوریه ۲۰۱۰ نیز اتفاق افتاد. به علاوه، سوالاتی که تصمیم گیرنده ها در مسائل تخصیص با آن روبه رو می‌شوند، عبارتند از:

1.  اطلاعات در مورد تقاضا و تخصیص هزینه‌های منابع اضطراری معین و دقیق نیست.
2. به علت عدم وجود اطلاعات دقیق و عرضه محدود، ممکن است تقاضای منابع اضطراری ارضا نشود.
3. اهداف نجات متفاوت ممکن است با هم در تضاد باشند(کارایی و عدالت).

بنابراین یک مدل تخصیص منابع اضطراری دو هدفه استوار یا (BRERA (Bi-objective Robust Emergency Resource Allocation در این مقاله ارائه داده‌شده که تمرکز آن بر «رعایت عدالت» و «کارایی» در شرایط عدم قطعیت می‌باشد. هدف در این مسئله بهینه کردن سیاست تخصیص توسط برقراری تعادل بین ۲ تابع هدف کارایی و عدالت است. 

نوآوری مقاله:

• ارائه مدل BRERA که می تواند عدالت و کارایی را بیشینه و تعادلی بین منابع مختلف در عدم قطعیت ایجاد کند.  
• یک متد جدید، تصمیم‌گیری تخصیص منابع اضطراری یا ERAD (Emergency Resource Allocation decision) برای حل مدل و کمک به تصمیم گیرنده‌ها در جهت انتخاب بهترین سیاست تخصیص پیشنهاد شده است؛
•  اجرا تحلیل استوارسازی برای بررسی استواری مدل و جواب.

بهینه سازی رباست:

در این رویکرد که توسط مولوی در سال ۱۹۹۵ ارائه شده است سعی می‌شود که مدل در برابر پارامتر‌های غیر‌قطعی استوار شود. زیراکه با تحقق پارامترهای غیر قطعی، مقدار تابع هدف مسئله و متغیرهای بهینه مسئله ممکن است بسیار متفاوت از توابع هدف و متغیر‌های به دست آمده از مدل باشد. در مدل بهینه سازی استوار، ۲ نوع محدودیت ساختاری و کنترل وجود دارد، محدودیتهای ساختاری فاقد پارامترها یا متغیر‌های غیر‌قطعی است و محدودیت کنترل دارای متغیر و پارامتر غیر قطعی می باشد. همچنین ۲ مجموعه متغیر تعریف شده است، متغیر‌های طراحی و متغیر‌های کنترل، متغیرهای طراحی قبل از تحقق پارامتر‌های احتمالی تصمیم گیری می شوند و متغیر‌های کنترل بعد از وقوع اتفاق خاص تغییر می‌کنند. مدل ساده زیر را در نظر بگیرید:

     در اینجا x بردار متغیرهای طراحی و y شامل متغیرهای کنترل می‌باشد. A، B و C ماتریس پارامتر هستند. عدم قطعیت در متغیر‌های رباست با مجموعه‌ای از سناریو‌ها ارائه می‌شود. سناریو های مختلف برای پارامترهای غیر‌قطعی، تابع هدف را با احتمال P_s  تحت تاثیر قرار می‌دهد، که جمع همه احتمالها برابر ۱ است. این رویکرد برای حفظ شدنی بودن مدل به مقدار میانگین، مقدار ثابتی که در واریانس تابع هدف ضرب شده اضافه می شود. دلتا با اندیس s به عنوان بردار متغیر های انحراف تعریف می‌شوند و نشدنی بودن متغیرهای کنترل تحت سناریو s را اندازه می گیرد. مدل ریاضی استوار به صورت زیر بیان می شود:

عبارت اول در فرمول بالا را می توان برابر با مجموع ارزش انتظاری و واریانس (لاندا ) تابع هدف در نظر گرفت و به صورت زیر نوشت:

به دلیل اینکه مسئله به این شکل زمان زیادی برای حل می گیرد، یو و لی (۲۰۰۰) استفاده از قدر مطلق را پیشنهاد کردند، اما باز هم معادله غیر خطی است که با اضافه کردن ۲ متغیر انحراف غیر منفی مدل خطی می شود. سپس با پیشنهاد یو و لی ۲ متغیر انحراف مطرح شده را حداقل کردند. اثبات کردند که کمینه کردن عبارت بالا برنامه‌ریزی خطی به صورت زیر به دست می‌دهد:

 در این روش برای حفظ شدنی بودن مدل جریمه‌ای به تابع هدف داده شده و این جریمه به ازای همه پارامتر هایی است که دارای پارامتر غیر قطعی هستند.

تعریف مسئله:

در این مقاله بر مسئله تخصیص منابع اضطراری در ابتدای زمان پس از بحران تمرکز شده، همانطور که در شکل زیر می‌بینید، این شبکه شامل یک منبع مرکزی امدادی و چندین ناحیه بحران زده می‌باشد. منبع مرکزی، چگونگی تخصیص منابع امدادی مثل غذا، آب، پناهگاه و دارو را تعیین می کند تا کارآمدی و عدالت برقرار باشد. در ابتدای وقوع بحران، عرضه منابع ذخیره شده در منبع مرکزی در مقابل تقاضاهای مناطق بحران زده بسیار محدود می باشد، همچنین سرمایه ذخیره شده برای تخصیص این منابع کافی نیست. به علاوه، تقاضا از نواحی بحران‌زده غیر قطعی است و هزینه تخصیص منابع امدادی به دلیل معین نبودن هزینه عملیاتی، دقیق نیست؛ این هزینه ها شامل: هزینه انتقال، منابع انسانی و ... می باشد. بنابراین یک مدل بهینه سازی رباست دو هدفه ارائه شده است و هدف آن به دست آوردن استراتژی تخصیص کارا و عادلانه در شرایط کمبود و عدم قطعیت می باشد.

مفروضات مسئله: 

•  عرضه منبع امداد j از منبع مرکزی امدادی، کمتر از کل تقاضاها از نواحی بحران زده است. 
• تقاضا برای منبع امدادی j در نواحی بحران زده i غیرقطعی است. برای ارائه پارامتر های غیر قطعی، از یک مجموعه سناریو محتمل جداگانه استفاده می‌شود. فرض شده که توزیع احتمال سناریوها به تشخیص متخصص می‌باشد.
•  هزینه تخصیص یک واحد منبع j به ناحیه i غیر قطعی است. پارامتر های غیر قطعی متعلق به مجموعه غیر قطعی فرض شده اند.
• مطلوبیت انواع منابع (مثل: آب، غذا، پناهگاه، خون و ...)  نمی تواند جایگزین یکدیگر شوند.

مدل BRERA:

در این مدل کارایی با مطلوبیت کل از منابع امداد در میان نواحی بحران زده اندازه گیری می شود.

مطلوبیت منبع امدادی j در ناحیه بحران i تحت سناریو s به صورت زیر می باشد: 

مطلوبیت کل برای تمام منابع امدادی در مناطق بحران زده  از مجموع تمام مطلوبیت ها به دست می آید.

عدالت معیار دیگری در این مقاله است که نرخ مطلوبیت از همه منابع امدادی در نظر گرفته شده است. معادله زیر نرخ مطلوبیت منبع j در ناحیه بحران زده i را تحت سناریو s نمایش می دهد:

مخرج کسر مطلوبیت منبع j تقاضا شده در ناحیه بحران زده i را تحت سناریو s نشان می دهد.

برای محاسبه عدالت کمینه نرخ مطلوبیت تحت سناریو S را درنظر گرفته اند.

در این قسمت مدل BRERA با بهینه سازی رباست ارائه شده است.

توابع هدف مدل به صورت زیر می باشند:

تابع هدف اول: بیشینه کردن مطلوبیت کلی منابع امداد به هدف ایجاد کارایی. عبارت اول و دوم به ترتیب میانگین و واریانس را در مطلوبیت کلی نشان می‌دهند و استواری جواب را می سنجد. عبارت سوم استواری مدل با توجه به ارتباط نشدنی بودن و محدودیت کنترل (۲۰) می‌سنجد.

تابع هدف دوم: بیشینه کردن کمینه‌ی نرخ رضایت برای انعکاس معیار عدالت.

محدودیت ۱۹: اطمینان می دهد، کل میزان منبع j تخصیص داده شده در همه ناحیه های بحران زده بیشتر از کل عرضه منبع j در منبع مرکزی نمی شود.

محدودیت ۲۰: تضمین می‌کند، میزان منابع تخصیص داده شده به نواحی بحران زده باید کمتر از مجموع تقاضای واقعی و تخصیص اضافی منبع (به دلیل عدم قطعیت) باشد.

محدودیت ۲۱: تضمین می کند، کل هزینه های تخصیص منابع امدادی کمتر از سرمایه ذخیره شده می باشد.

محدودیت ۲۲ و ۲۳: محدودیت های کمکی برای خطی سازی معادله ۱۱ است.

محدودیت ۲۴: این اطمینان را می دهد که همه پارامترها و متغیرها غیرمنفی هستند.

محدویت ۲۱: یک محدودیت خطی با ضریب غیر قطعی می‌باشد. برتسیماس و سیم یک رویکرد برای مدل‌های ریاضی خطی با ضریب های غیر قطعی ارائه داده اند. در این رویکرد یک جواب استوار ایجاد می شود که سطح محافظه کاری در آن انعطاف پذیر و تا حدودی نقض محدودیت در آن ممکن می باشد. پس می توان محدودیت ۲۱ را به شکل زیر تعریف کرد:

با مقدار دادن به متغیر کنترل، مدل استوار تر می شود. زیرا که همانطور که گفته شد، محدودیت ۲۱ سعی در حفظ شدنی بودن دارد و به دلیل پارامترهای غیر قطعی، افزایش عدم قطعیت را به همراه دارد. در آخر، محدودیت ۲۱ خطی شده و پارامترهای آن قطعی می شود و مدل به صورت کارآمدتری حل می شود. 

روند حل :

از آن جایی که مدل BRERA یک مدل بهینه سازی چند هدفه است، از ۳ روش مختلف می توان، برای رسیدن به جواب بهینه، استفاده کرد، با توجه به اینکه چگونه و در چه زمانی تمایلات تصمیم گیرنده در فرایند تحقیق شرکت داده شود.

1.  روش پیشین(A priori method): تصمیم گیرنده تمایلات خود را قبل از فرآیند تحقیق بیان می کند.
2. روش پسین(A posteriori method) : تصمیم گیرنده تمایلات خود را بعد از فرایند تحقیق بیان می کند.
3. روش تعاملی Interactive method)): تصمیم گیرنده تمایلات خود را در حین فرآیند تحقیق بیان می کند.

در این مقاله از روش پسین برای پیدا کردن بهترین جواب استفاده شده است، که شامل مراحل زیر می باشد:

مرحله ۱) استفاده از الگوریتم ابتکاری ازدحام ذرات برای مدل دوهدفه

مرحله ۲) انتخاب ضریب عادلانه برای اندازه گیری سطح عدالت در همه جوابها به دست آمده توسط الگوریتم ازدحام ذرات.

مرحله ۳) پیشنهاد یک روش جدید تصمیم گیری برای کمک به تصمیم گیرنده در پیدا کردن بهترین سیاست تخصیص با استفاده از ضرایب عادلانه.

مرحله اول: الگوریتم بهینه سازی ابتکاری دوهدفه ازدحام ذرات یا BHPSO (bi-objective heuristic particle swarm optimization)

زمانی که مقیاس مسئله بزرگ باشد حل مسئله (به روش دقیق) زمان می برد، به همین دلیل از الگوریتم‌های فرابتکاری استفاده می‌شود. در این مقاله از الگوریتم «ازدحام ذرات» یا «PSO» (Particle Swarm Optimization) استفاده شده است. علت استفاده از این الگوریتم راحتی و سرعت زیاد محاسبه با این الگوریتم است زیرا که در شرایط اضطراری سرعت عمل از اهمیت بسیاری برخوردار است و رسیدن به جواب تقریبی در مدت زمان کم را به جواب دقیق اما مدت زمان بیشتر ترجیح می دهند. 

الگوریتم PSO از رفتار اجتماعی طبیعت و حرکات پویای و ارتباطات حشرات و ماهی ها الهام گرفته شده است. در این الگوریتم حالت هر ذره یک جواب محسوب می شود. هر ذره در مسیر خود و در فضای جواب وابسته به بهترین جوابی که تا به حال به آن رسیده است حرکت می‌کند که به بهترین جواب ذره Personal best یا  pbestمی‌گویند. جواب دیگری که در حرکات ذرات در نظر گرفته می‌شود، بهترین جوابی است که توسط دیگر ذرات دریافت شده است.که به آن gbest می‌گویند. تغییرات در سرعت و حالت ذرات می‌تواند به صورت ریاضی زیر تعریف شود.

تکرار های این الگوریتم تا جایی ادامه می یابد که به معیار مورد نظر و بهترین جواب برسیم.

مرحله دوم: انتخاب ضریب عادلانه

در این بخش، بهترین جواب از نظر تصمیم گیرنده انتخاب می‌شود. در فاز تصمیم گیری، از ضریب Gini استفاده شده تا از بین جوابها بهترین را انتخاب کند. این ضریب به عنوان نرخی با ارزش بین ۰ تا ۱ تعریف می شود. درنظر گرفتن ارزش کم برای این ضریب عدالت و ارزش زیاد نابرابری را نشان می‌دهد. در این مقاله به محاسبه ضریب Gini برای منابع j در نواحی بحران زده تحت سناریو s پرداخته شده و از این طریق GC که نشان دهنده رابطه این ضریب با عدالت است محاسبه شده است. از بین جواب های به دست آمده انتخاب عدد این ضریب به نظر تصمیم گیرنده در مورد عدالت انجام می‌شود. استانداردهایی برای این ضریب در نظر گرفته شده که تصمیم گیرنده می‌تواند بازه ای برای سطح عدالت در نظر بگیرد و اگر GC فراتر از این بازه بود، آن را از جواب ها حذف کند(به دلیل سطح بالایی از بی عدالتی).

 مرحله سوم: اجرای متد تصمیم‌گیری

در این مرحله نیز به انتخاب بهترین جواب از نظر تصمیم‌گیرنده، با توجه به مطلوبیت‌های امدادی و عدالت، می‌پردازیم. این متد را می توان به صورت نموداری ترسیم کرد (شکل زیر را ملاحظه فرمایید) که محور افقی آن مطلوبیت امدادی نرمالیزه شده و محور عمودی آن را نرخ رضایت نرمالیزه شده تشکیل می‌دهد. این نمودار را با نظر گرفتن جواب‌های به دست آمده از مراحل قبلی می‌توان به ۴ قسمت تقسیم کرد که هر ناحیه آن تعریف از مطلوبیت و رضایت را نشان می دهند. ایده‌آل‌ترین جواب در ناحیه ۲ نمودار انتخاب شد زیرا که تعادل مناسبی بین مطلوبت امدادی و رضایت نشان می دهد.

مطالعه موردی:

زلزله یکی از رایج ترین بحرانهاییست که در سراسر جهان اتفاق می‌افتد و هزاران کشته و زخمی به جای می‌گذارد. در ۵ دسامبر ۲۰۰۸ زلزله شدیدی با قدرت ۸ ریشتر شهر Wenchuan چین را لرزاند و طبق آمار ۶۹۱۸۰ نفر کشته، ۳۷۴۱۷۶ زخمی و ۵ میلیون نفر را بی خانه کرد. در فاز پس از بحران، سیستم های زیرساختی اساسی مثل آب، برق، تلفن و حمل و نقل با خرابی‌های شدیدی مواجه می‌شوند. در این شرایط ۲ مورد اصلی وجود‌ دارد که تصمیم‌گیرنده‌ها با آن مواجه می‌شوند. 1) منابع نجات به شدت نیاز است، ۲) اطلاعات از مناطق بحران‌زده برای تخصیص هزینه‌ها و تقاضا منابع امدادی، به دلیل خرابی‌های زیاد ،نامعین می‌باشد. صدها نوع منبع امدادی در همان اوایل وقوع زلزله در شهر Wenchuan نیاز بود. در این مورد مطالعاتی این مقاله فقط ۴ نوع منبع امداد اساسی برای تخصیص در نظر گرفته است که شامل: آب، پناهگاه، لباس و خون هستند، که به ۱۲ منطقه بحران زده ارسال می شوند. برای مقابله با عدم قطعیت در تقاضا ۳ سطح برای تقاضا در نظر گرفته شده است: کم (L)، متوسط (M)، زیاد (H)، که این ۳ سطح را سناریوهای مسئله قرار داده و احتمال وقوع هر کدام از سناریو ها با توجه به نظر متخصصان در نظر گرفته شده است. 

مروری بر نتایج:

الگوریتم BHPSO در نرم افزار متلب ۲۰۱۴ کد شده است. متد ERAD برای حل مدل BRERA زمانی که بودجه تخصیص B=2000 هزار دلار است، ارائه شده است.

• برای بررسی کیفیت جواب به دست آمده از روش BHPSO آن را با مقدار دقیق به دست آمده از روش برنامه‌ریزی عددصحیح (MIP) مقایسه کرده اند. این مقایسه در شکل زیر آمده است.

در شکل بالا کاملا مشخص است که جواب به دست آمده از روش BHPSO به جواب دقیق (exact) که از روش MIP محاسبه شد، نزدیک است. مخصوصا زمانی که مطلوبیت کلی امدادی زیاد می شود دو نمودار تقریبا همپوشانی دارند. برای مقایسه دقیق تر این دو نمودار نقاط یا جواب های هر کدام از نمودار ها را در نظر گرفته و اختلاف آنها را محاسبه کرده است.

• شکل زیر روند خطی ضریب Gini را تحت ۳ رقم که برای سرمایه در نظر گرفته شده است نشان می دهد، این اعداد در نظر گرفته شده برای سرمایه  (هزار دلار) هستند. نمودار وابستگی میزان سرمایه را به عدالت نشان می دهد، هرچه سرمایه در نظر گرفته شده بیشتر می شود میزان عدالت رعایت شده بیشتر است.

برداشت کوتاه از مقاله:

1. بررسی شرایط بحرانی در زنجیره تامین و افزایش کارایی و رعایت عدالت در تخصیص منابع موردنیاز امدادی؛
2. آشنایی با بهینه سازی استوار در شرایط عدم قطعیت و مبتنی بر سناریو که توضیحات مربوط به آن در متن عنوان شده است.
3. آشنایی با الگوریتم ابتکاری ازدحام ذرات. در راستای اضطراری بودن شرایط و الزام سرعت در نتیجه گیری از این روش استفاده شده است. الگریتم های ابتکاری و فرا ابتکاری دقت کمتری نسبت به روش دقیق دارند اما سرعت به دست آمدن جواب بیشتر است.
4. انجام روش هایی برای تصمیم گیری بهتر (مانند انتخاب ضریب عادلانه) و حذف جوابهای نامطلوب.

پیشنهادات آتی:

رویکرد پیشنهاده شده این مقاله بسیار کلی است در نتیجه پتانسیل زیادی برای توسعه در زمینه های مرتبط با مسائل تخصیص منابع اضطراری دارد. این مقاله توجه بسیاری بر ایجاد بالانس (توازن) بین عدالت و کارآمدی داشته است و در مقالات آتی به موارد مهم دیگری می توان پرداخت مثل: حساسیت زمان، اهمیت هزینه و دوره های زمانی در شرایط اضطراری.